Test auf Normalverteilung Excel Anderson Darling Test

Als Test auf Normalverteilung beweist der Anderson Darling Test, dass die Verteilung von gemessenen Werten zu einer Normalverteilung passt.

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

Die Normalverteilung von gemessenen Werten ist oft Voraussetzung um bestimmte statistische Kennzahlen zu ermitteln. Dies gilt zum Beispiel für die Kennzahlen cp und cpk im Bereich der Prozessfähigkeit. In diesem Beitrag erfahren Sie, wie Sie den Test durchführen. Sie erhalten eine Excel Vorlage zur Durchführung. In diese tragen Sie lediglich ihre gemessenen Werte und erhalten sofort das Ergebnis des Testes. Als Ergänzung habe ich die Excel Vorlage zum Beitrag Maschinen- und Prozessfähigkeit mit dem Test auf Normalverteilung ergänzt. Sie können somit gleich erkennen, ob ihr Prozess die Anforderungen der Normalverteilung erfüllt.

Im Folgenden stelle ich die verschiedenen Möglichkeiten vor.

Tests auf Normalverteilung können auf 2 Arten stattfinden:

  • Als grafischer Test durch das Zeichnen eines Wahrscheinlichkeitsnetzes
  • Als rechnerische Test durch verschiedene statistische Tests auf Normalverteilung

Beide Arten unterstütze ich mit der Excel Vorlage Test auf Normalverteilung Anderson Darling 20161108.xlsx

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

Wollen Sie Ihre Werte schnell auf Normalverteilung überprüfen benutzen Sie die Test-auf-Normalverteilung-Anderson-Darling-20161108.xlsx. Wollen Sie auch die entsprechenden Hintergründe nachvollziehen, können Sie gerne weiterlesen.

 Wahrscheinlichkeitsnetz

Eine grafische Überprüfung der Normalverteilung kann über eine grafische Darstellung erfolgen. Hiebei zeichnen Sie die Werte der theoretische Normalverteilung mit den gemessenen Werten in ein Diagramm ein. Entsprechen die gemessenen Werte der Gerade der Normalverteilung, so ist davon auszugehen, dass die gemessenen Werte einer Normalverteilung nahe kommen.

 

Wahrscheinlichkeitsnetz Test auf Normalverteilung 20141214

Wahrscheinlichkeitsnetz Test auf Normalverteilung 20141214

Wahrscheinlichkeitsnetz Test auf Normalverteilung 20141214

Test auf Normalverteilung

Um zu überprüfen, ob Daten normalverteilt sind, können verschieden Methoden angewandt werden.

  • Chi – Quadrat – Test
  • Shapiro –  Wilk – Test
  • Anderson-Darling-Test (Modifikation des Kolmogorow-Smirnow-Tests)
  • etc.

Die Tests haben unterschiedliche Eigenschaften hinsichtlich der Art der Abweichungen von der Normalverteilung, die sie erkennen. Als zuverlässiger Test auf Normalverteilung hat sich der Anderson Darling Test bewährt. Der rechnerische Test auf Normalverteilung nehme ich deshalb mit dem Anderson Darling Test vor.

Anderson Darling Test

Der Test wurde 1952 entwickelt von Theodore Wilbur Anderson und Donald Allan Darling. Der Anderson Darling Test vergleicht die gemessenen Werte mit der theoretischen Verteilung der Werte in Bezug auf die Normalverteilung. Das Verfahren bestimmt die Abweichung der Theorie von der Realität.
Michael A. Stephens hat ein Verfahren entwickelt, daß in Verbindung mit dem Anderson Darling Test eine direkte Abschätzung des p-Wertes aus der Testgröße zuläßt. Mit der Bestimmung des p – Wertes kann nun beschrieben werden, inwieweit die gemessenen Werte der Normalverteilung entsprechen. Ist der p-Wert <0,05 ist die Hypothese abzulehnen, daß die Werte einer Normalverteilung entsprechen.

Test auf Normalverteilung Formel

Die Formeln zur Berechnung sind im Folgenden dargestellt. Der AD Wert ist:

test auf normalverteilung anderson darling AD definition.png

test auf normalverteilung anderson darling AD definition.png

S ist wie folgt definiert.

Test auf Normalverteilung Anderson Darling Definition S

Test auf Normalverteilung Anderson Darling Definition S

Zur Berechnung des p Wertes für die Annahme oder Ablehnung der Nullhypothese wird ein Hilfswert z berechnet.

test auf normalverteilung anderson darling Z definition.png

test auf normalverteilung anderson darling Z definition.png

Je nach Ergebnis von z wird der p Wert nach folgenden Formeln ermittelt.

  • wenn z >0,6, dann ist p = exp(1.2937 – 5.709z+ 0.0186z2)
  • wenn 0,34 < z <= 0,6, dann ist p = exp(0.9177 – 4.279z – 1.38z2)
  • wenn 0,2 < z <= 0,34, dann ist p = 1 – exp(-8.318 + 42.796z- 59.938z2)
  • wenn z <= 0,2, dann ist p = 1 – exp(-13.436 + 101.14z- 223.73z2)

Grundlage dieser Formeln sind die Darstellungen von Ralph B. D’Agostino (1986). “Tests for the Normal Distribution”. In D’Agostino, R.B. and Stephens, M.A. Goodness-of-Fit Techniques. New York: Marcel Dekker. ISBN 0-8247-7487-6.

Test auf Normalverteilung Excel

Mit Excel läßt sich der Test auf Normalverteilung nach Anderson Darling relativ gut darstellen. Die Formeln werden von oben in das Excel Arbeitsblatt übersetzt. Ein Beispiel finden Sie in der Test-auf-Normalverteilung-Anderson-Darling-20161108.xlsx

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

test auf normalverteilung excel andersondarling 20141226.png

Verwendung der Normalverteilung

Eine wichtige Verwendung für die Normalverteilung besteht bei der Berechnung von Fähigkeitswerten. Dies gilt für kurzfristige oder auch für langfristige Werte. Als Beispiel sind hier die Werte für Maschinenfähigkeit oder Prozessfähigkeit zu benennen. Dies wird näher im Beitrag Maschinen- und Prozessfähigkeit erläutert. In diesem Beitrag stelle ich auch die entsprechenden Excel Vorlagen zur Berechnung von cp und cpk bereit.

Der Test auf Normalverteilung ist in der Excel Vorlage zur Untersuchung der Maschinenfähigkeit integriert. Als weitere statistische Software zur Berechnung der Normalverteilung bietet sich Minitab an.

Test auf Normalverteilung nach Anderson Darling mit Minitab

In diesem Beispiel nehme ich die Daten aus dem vorherigen Excel Beispiel.  Auf Youtube könnt Ihr sehen, wie ich die Berechnung in Minitab durchgeführt habe.

Minitab Anderson Darling Test auf Normalverteilung

In Minitab findet ihr unter dem Punkt Statistik -> Statistische Standverfahren -> Normalverteilung den entsprechenden Menüpunkt. Das Ergebnis entspricht der Excel Vorlage. Minitab wählt bei der Darstellung des Wahrscheinlichkeitsnetzes eine leicht andere Form.

Test auf Normalverteilung Anderson Darling Test Minitab.jpg

Test auf Normalverteilung Anderson Darling Test Minitab.jpg

Test auf Normalverteilung R Statistik Software

Sollte Excel nicht zu Verfügung stehen, kann man auch die frei verfügbar Statistik Software R benutzen.

Nach der Installation von R benötigt ihr noch die Pakete openxlsx und qualityTools. Folgende Befehle werden in der R Console verwendet.

# Librarys im Programm verfügbar machen
library(openxlsx)
library(ggplot2)
library(qualityTools)

# Daten aus der Excel Datei maschinen.xlsx in die Tabelle df1 einlesen
# Anschließend die cp Funktion aus der library qualitytools aufrufen
library(openxlsx)
library(qualityTools)
xlsxFile <- (“C://Users//ThinkPad User//Daten//R Statistik//maschinen.xlsx”)
df1 <- read.xlsx(xlsxFile = xlsxFile, sheet = 1, startRow = 1, skipEmptyRows = FALSE)
cp(df1$mm,,23,16)

Folgende Ausgabe am Bildschirm erhalten Sie:

Anderson Darling Test for normal distribution

data: df1$mm
A = 0.381, mean = 18.871, sd = 1.179, p-value = 0.3953
alternative hypothesis: true distribution is not equal to normal

Maschinenfaehigkeit mit Statistik Software R cp

Maschinenfaehigkeit mit Statistik Software R cp

 

Klicken Sie auf die einzelnen, unten stehenden Links und Sie gelangen zum Thema und den entsprechenden Excel Dateien. Das Bild mit allen Links zu den Themen können Sie als pdf (Werkzeuge_20150722_4_als_pdf) downloaden.
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