Ein Prüflauf ist durch, 125 Teile sind vermessen, der Verschleiß liegt vor. Erlaubt sind höchstens 40 Mikrometer, eine untere Grenze gibt es nicht, denn weniger Verschleiß ist immer besser. Die Auswertung liefert einen Cmk von 1,81 und null Ausschussteile pro Million. Das ist deutlich über der üblichen Forderung von 1,33. Der Prozess ist fähig, der Haken kann gesetzt werden.
Nur steckt in dieser Rechnung eine Annahme, die niemand ausgesprochen hat.
Die Messwerte folgen einer Normalverteilung.
Schaut man sich die 125 Werte an, sieht man sofort, dass sie das nicht tun. Die meisten Teile verschleißen kaum, der Median liegt bei 6,5 Mikrometer. Einige wenige verschleißen deutlich mehr. Die Verteilung hat einen kurzen linken Rand und einen langen rechten. Genau so verhält sich Verschleiß physikalisch, denn es gibt eine harte Grenze bei null und nach oben nur die Frage, wie ungünstig die Bedingungen waren.
Legt man trotzdem eine Normalverteilung über diese Daten, passiert zweierlei. Links ragt die Kurve unter die Null, in einen Bereich, den es nicht gibt. Und rechts hört sie zu früh auf. Bei einem Mittelwert von 7,83 und einer Standardabweichung von 5,93 Mikrometer endet die Rechnung bei drei Standardabweichungen, also bei rund 25,6 Mikrometer. Bis zur Grenze von 40 bleibt scheinbar reichlich Luft. Nur liegen drei der 125 Messwerte bereits jenseits dieser Schwelle, dort, wo die Normalverteilung so gut wie nichts mehr erwartet. Der Anpassungstest nach Anderson-Darling verwirft die Normalverteilung mit einem p-Wert von 5·10⁻⁸ eindeutig.
Die Weibull-Verteilung bildet diesen Verlauf ab. Sie hat den langen rechten Rand, und sie rechnet nicht mit drei Standardabweichungen, sondern mit Quantilen. Die Quantilmethode nach ISO 22514-2 verwendet dafür X50 % als Lage und X99,865 % als oberes Ende der Streuung, also dieselbe Wahrscheinlichkeit, die bei der Normalverteilung hinter drei Standardabweichungen steckt. Für diese Daten ergibt die Anpassung einen Formparameter von 1,35 und einen Skalenparameter von 8,55. Der Median liegt bei 6,52 Mikrometer, das obere Ende der Streuung aber erst bei 34,61.
Damit wird die Rechnung eine andere. Vom Median bis zur Grenze sind es 33,48 Mikrometer, vom Median bis zum oberen Streuungsende 28,09. Das Verhältnis ergibt einen Cmk von 1,19. Nicht fähig. Und statt null erwartet man jetzt 324 Teile pro Million oberhalb der Grenze.
Gleiche Messwerte, andere Verteilung, anderes Urteil. Und beide Rechnungen sind in sich korrekt. Der Unterschied liegt allein darin, wie das obere Ende der Streuung geschätzt wird. Die Normalverteilung lässt dabei genau den Rand weg, auf den es bei einer oberen Grenze ankommt. Deshalb fällt der Fehler auch nicht auf: Es gibt keine Fehlermeldung, keinen Ausreißertest, der anschlägt, und keinen einzigen Messwert über 40. Die Zahl sieht gut aus, sie beantwortet nur eine Frage, die so nicht gestellt war.
Das betrifft nicht nur Verschleiß. Auch Rauheit und Rundlauf laufen nach einer Seite aus und haben eine natürliche Grenze bei null. Bei Rauheit passt häufig die Betragsverteilung 1. Art. Beim Rundlauf ist es meist die Betragsverteilung 2. Art, die Rayleigh-Verteilung, und das hat einen physikalischen Grund: Rundlauf entsteht überwiegend aus Exzentrizität, also einem radialen Versatz in x- und y-Richtung. Sind beide Richtungen normalverteilt um null, folgt der Betrag einer Rayleigh-Verteilung. Die Normalverteilung passt in keinem dieser Fälle.
Praktisch heißt das: Bevor ein Cmk unterschrieben wird, gehört die Verteilung geprüft. Ein Blick auf das Histogramm und ein Anpassungstest kosten wenige Minuten. Bei einseitig begrenzten Merkmalen mit natürlicher Nullgrenze lohnt sich dieser Blick besonders, weil die Normalverteilung dort systematisch zu günstig rechnet.
Wer das an eigenen Messreihen nachrechnen möchte, kann das kostenlos auf my8data.com tun. Die Maschinenfähigkeitsanalyse prüft die Verteilung, rechnet die Quantilmethode nach ISO 22514-2 und zeigt Normalverteilung und Weibull-Verteilung am selben Datensatz nebeneinander.
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